Симплектичний простір

Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою $\omega$, тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {S}$ і скалярів $\lambda ,\,\mu \,$виконуються умови:

$\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$

$\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )$

$\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0$

Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів:

$\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0.$

Пов'язані означення

• Лінійне відображення L симплектичного простору називається симплектичним, якщо воно зберігає симплектична форму:

$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle$

• Множина всіх симплектичних відображень простору S утворює групу, що називається симплектичною групою і позначається Sp(S).
• Матриця симплектичного відображення називається симплектичною матрицею.
• Підпростір s симплектичного простору S називається симплектичним, якщо обмеження симплектичної форми на s є невирождени.
• Два вектора $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$ називаються косоортогональними, якщо

$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0$

Відзначимо, що будь-який вектор э косоортогональним самому собі.

• Косоортогональним доповненням підпростору $s\subset S$ називається множина всіх векторів, косоортогональних будь-якому вектору з $s$.

Приклади

• На просторі $\mathbb {R} ^{2n}$ із базисом позначеним як $\mathbf {e_{1}} ,\ldots ,\mathbf {e_{n}} ,\mathbf {f_{1}} ,\ldots ,\mathbf {f_{n}}$ існує стандартна симплектична форма, яка на базисних векторах задана як

$\omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )=0,\;\forall \ i,j\in 1,\ldots ,n$

$\omega (\mathbf {f_{i}} ,\mathbf {f_{j}} )=0,\;\forall \ i,j\in 1,\ldots ,n$

$\omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {f_{j}} )=-\omega (\mathbf {f_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}.$

Матриця цієї симплектичної форми відповідно має вигляд $\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$, де $I_{n}$ — одинична матриця порядку n.

Якщо вектори у цьому базисі записати через координати $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{2n})^{T},\ \mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{2n})^{T}$ то симплектична форма через координати записується як:

$\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}b_{n+i}-a_{n+i}b_{i})$

або у векторно-матричній формі:

$\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {a} ^{T}\cdot \Omega _{n}\cdot \mathbf {b} .$

• Попередній приклад можна узагальнити для довільного простору $\mathbb {F} ^{2n}$ для поля $\mathbb {F}$ характеристика якого не є рівною 2 і кососиметричної матриці $M$ (тобто $M^{T}=-M$). Тоді для базису $\mathbf {e_{1}} ,\ldots ,\mathbf {e_{2n}}$ симплектичну форму можна задати на базисних векторах як $\omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )=M_{ij}.$ Тоді у векторно-матричній формі через координати у цьому базисі симплектичну форму можна обчислити як:

$\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {a} ^{T}\cdot M\cdot \mathbf {b} .$

• У комплексному просторі $\mathbb {C} ^{n}$ можна задати білінійну кососиметричну форму за формулою

$\left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]$

де $\left[\cdot ,\cdot \right]$ — ермітова форма. Ця форма задає симплектичну структуру на просторі $\mathbb {C} ^{n}$ розглянутому як дійсний простір $\mathbb {R} ^{2n}$ .

• Більш загально, якщо на дійсному векторному просторі $V$ задані комплексна структура $J$ (тобто лінійний ізоморфізм для якого $J^{2}=-I$ або $J(J(\mathbf {v} ))=-\mathbf {v}$ для всіх $\mathbf {v} \in V$) і узгоджена ермітова структура, тобто скалярний добуток на просторі $V$ для якого додатково $g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(J(\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} ))$ для всіх $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$, то форма $\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))$ є симплектичною. Вона очевидно є білінійною і також кососиметричною оскільки:

$\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))=g(J(\mathbf {v} ),J(J(\mathbf {w} )))=g(J(\mathbf {v} ),-\mathbf {w} )=-g(\mathbf {w} ,J(\mathbf {v} ))=-\omega (\mathbf {w} ,\mathbf {v} ).$

Також вона є невиродженою адже для кожного ненульового $\mathbf {v} \in V$ для скалярного добутку g значення $g(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0$. Оскільки $J$ є ізоморфізмом, то $\mathbf {w} =J^{-1}(\mathbf {v} )$ є ненульовим вектором і $\omega (\mathbf {v} ,w)=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))=g(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\neq 0.$

Навпаки для скінченновимірного дійсного простору $V$ із симплектичною формою $w$ існують комплексна структура $J$ і ермітова структура $g$ для яких $\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))$. Для визначення цих структур достатньо розглянути базис Дарбу $(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )$, як у розділі нижче і ввести на базисних векторах $J(\mathbf {p_{i}} )=-\mathbf {q_{i}}$ і $J(\mathbf {q_{i}} )=\mathbf {p_{i}}$, а скалярний добуток на базисних векторах ввести як:

$g(\mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} )=0,~~g(\mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} )=g(\mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} )=\delta _{ij}$

• Для будь-якого простору V існує канонічна симплектична структура на просторі $V\oplus V^{*}$, де $V^{*}$ — простір спряжений до V. Для двох елементів цього простору $(\mathbf {u} ,\mathbf {u} ^{*})$ і $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{*})$, де $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$, а $\mathbf {u} ^{*},\mathbf {v} ^{*}\in V^{*},$ симплектична форма задається як:

$\omega ((\mathbf {u} ,\mathbf {u} ^{*}),(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{*}))=v^{*}(\mathbf {u} )-u^{*}(\mathbf {v} ).$

Канонічна структура

Симплектичну структуру можна ввести на будь-якому векторному просторі розмірність якого є парним числом. Над полем характеристика якого не є рівною 2 на векторному просторі розмірність якого є непарним числом не існує невиродженої кососиметричної білінійної форми.

Справді ввівши деякий базис $\mathbf {e_{1}} ,\ldots \mathbf {e_{2n+1}}$ білінійна форма однозначно задається за допомогою матриці $\Omega$ для якої $\Omega _{ij}=\omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{j}} ).$ Тоді у термінах цієї матриці кососиметричність означає, що $\Omega ^{T}=-\Omega$, а невиродженість, що $\det \Omega \neq 0.$ Але для простору непарної розмірності випливає, що для кососиметричної форми $\det \Omega =\det \Omega ^{T}=\det(-\Omega )=(-1)^{2n+1}\det \Omega .$ Тобто для простору непарної розмірності для матриці кососиметричної білінійної форми $\det \Omega =0,$ отже форма є виродженою.

Всі симплектичні простори однакової розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійний ізоморфізм який із своїм оберненим є симплектичними відображеннями. Розглянемо деякий вектор $\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$. Оскільки $\omega$ є невиродженою формою, то існує такий вектор $\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$, що

$\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1$

Розглянемо косоортогональне доповнення до лінійної оболонки V векторів $\mathbf {p_{1}}$ і $\mathbf {q_{1}}$. Це доповнення буде (2n - 2)-вимірним підпростором S, що не перетинається із V і обмеження $\omega$ на нього є невиродженою формою. Отже, процес можна продовжити по індукції. Для простору непарної розмірності процес завершиться на одновимірному підпросторі, на якому $\omega$ є виродженою формою, так що припущення про існування симплектичної структури було хибним. Для простору парної розмірності ми отримаємо базис

$(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )$,

для якого

$\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0$

де $\delta _{ij}$ — символ Кронекера. Він називається канонічним базисом або базисом Дарбу. Наприклад у випадку дійсних векторних просторів із базисом Дарбу простір є ізоморфний простору $\mathbb {R} ^{2n}$ із симплектичною формою із першого прикладу.

У канонічному базисі матриця симплектичної форми набуде вигляду

$\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$

де $I_{n}$ — одинична матриця порядку n. $\Omega _{n}$ є симплектичною матрицею.

Будова підпросторів

Розглянемо підпростір $W\subset \mathbb {S}$ і його косоортогональне доповнення $W^{\perp }$. Із невироджені $\omega$ випливає, що:

$\dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S}$

Крім того,

$(W^{\perp })^{\perp }=W$

У загальному випадку ці підпростору перетинаються. Виділяють 4 типи підпросторів:

• Симплектичні: $W\cap W^{\perp }=0$. Це вірно тоді і тільки тоді, коли обмеження $\omega$ на W є невирожденим, тож таке означення симплектичних підпросторів збігається з даним вище. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

$(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,2k=\dim \,W$

• Ізотропні: $W\subset W^{\perp }$. Підпростір є ізотропним тоді і тільки тоді, коли $\omega$ тотожно дорівнює нулю на ньому. Будь-який одновимірний підпростір є ізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

$(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~0,\dots ,0),\,k=\dim \,W$.

• Коізотропні: $W^{\perp }\subset W$. W є коізотропним тоді і тільки тоді, коли $\omega$ є невирожденою на фактор-просторі $W\,/\,W^{\perp }$. Будь-який підпростір корозмірності 1 є коізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

$(p_{1},\dots ,p_{n};~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,n+k=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}$

• Лагранжеві: $W^{\perp }=W$. W є лагранжевим тоді і тільки тоді, коли він одночасно є ізотропним і коізотропним. Будь-який ізотропний підпростір можна вкласти у лагранжів, а будь-який коізотропний підпростір містить лагранжів. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

$(p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}$

Множина всіх лагранжевих підпросторів простору розмірності 2n утворює многовид, що називається лагранжевим грассманіаном $\Lambda _{n}$. Він є дифеоморфним многовиду класів суміжності унітарної групи $\mathbb {U} _{n}$ по ортогональній підгрупі $\mathbb {O} _{n}$, при цьому

$\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$

Узгоджені комплексні структури

Нехай $V$ є скінченновимірним (парної розмірності) векторним простором над полем дійсних чисел із симплектичною формою $\omega$. Комплексна структура $J$ називається узгодженою із симплектичною структурою, якщо:

• для всіх $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$ виконується рівність $\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (J(\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} ))$
• білінійна форма $g_{J}(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ):=\omega (\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))$ є скалярним добутком.

Для кожної симплектичної структури існує нескінченна кількість узгоджених комплексних структур. Зокрема можна розглянути довільний скалярний добуток $g$ і ввести лінійні відображення ${\bar {\omega }},\ {\bar {g}}:V\to V^{*}$ задані як ${\bar {\omega }}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ і ${\bar {g}}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).$ Оскільки $\omega$ і $g$ є невиродженими білінійними формами, то ${\bar {\omega }},\ {\bar {g}}$ є лінійними ізоморфізмами і можна ввести лінійний ізоморфізм $A\ :V\to V$ заданий як $A\ ={\bar {g}}^{-1}\circ {\bar {\omega }}.$ За означенням тоді $g(A\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).$

Відображення A є кососиметричним адже $g(\mathbf {v} ,A\mathbf {w} )=g(A\mathbf {w} ,\mathbf {v} )=\omega (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )=-\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-g(A\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ для всіх $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V.$ Тому в ортонормованому базисі для скалярного добутку $g$ цей оператор задається кососиметричною матрицею, яку теж можна позначити A. Тоді матриця $A^{T}A=-AA$ є симетричною і додатноозначеною оскільки $g(A^{T}A\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=\omega (A\mathbf {v} ,A\mathbf {v} )>0$ для всіх $\mathbf {v} \neq 0.$

Позначимо $R={\sqrt {A^{T}A}}$ і $J=R^{-1}A$. Тоді $A=RJ$ є полярним розкладом матриці і оскільки матриця A як кососиметрична матриця є нормальною, то також $RJ=JR$ і відповідно $AJ=RJJ=JRJ=JA.$ Також $JJ=R^{-1}RJJ=R^{-1}JA=-(AA)^{-1}AA=-I,$ тобто $J$ визначає комплексну структуру і $J^{T}J=A^{T}(R^{-1})^{T}R^{-1}A=-A(-(AA)^{-1})A=I,$ тобто $J$ є ортогональною матрицею тобто $g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(J\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )$ для всіх $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V.$

Для визначеної комплексної структури виконуються рівності:

$\omega (J\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=gAJ(\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=gJA(\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=g(A\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).$

Також якщо ввести білінійну форму

$g_{J}(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=g(A\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} )=-g(JA\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(R\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$

то з додатноозначеності матриці $R$ випливає, що $g_{J}$ є скалярним добутком і відповідно $J$ задає узгоджену комплексну структуру.

Див. також

• Симплектична геометрія
• Симплектична група
• Симплектична матриця
• Симплектична форма
• Симплектичний базис
• Симплектичний многовид

Література

• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — 2-ое изд. — Ижевск : РХД, 2000. — 168 с. — ISBN 5-7029-0331-5.
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М : Издательство МГУ, 1988. — 414 с.
• Augustin Banyaga, Djideme F Houenou. A Brief Introduction To Symplectic And Contact Manifolds. — World Scientific, 2016. — 166 с. — ISBN 9814696706.